そうしないと就職活動実績が無いということで給付がもらえなくなる可能性があります。仕事始めの日にハローワークに行って相談してみられれば良いかと思います。

失業保険受給中で一社から内定を受けましたが、出勤が７／１からの場合、失業保険の受給はいつまで受けれるのでしょうか？内定が決まった時点でしょうか、それとも６月末まででしょうか？
因みに来週に５月の認定日があり、その４週間後に６月の認定日があります。
もし６月いっぱいまで支給される場合、６月も２回以上の就活が必要なのかどうか？
ご存知の方、よろしくお願いします。

内定＝失業給付の停止にはなりません。
初出勤前日までは無職ですので、それまで受給資格があります。（あなたの場合、６月末日までは失業給付を受け取ることができます。）
就職先が決まった場合は当然、就職活動をする必要はありませんが、内定をもらったことをハローワークに申し出てください。
そうしないと就職活動実績が無いということで給付がもらえなくなる可能性があります。
また条件を満たせば再就職手当もしくは就業手当が支給されることもあります。

この不況の中、早々内定をもらってよかったですね☆

妊娠による失業保険給付金延長について

妊娠の為、今年１０月３１日付けで退職しました。
その場合働けるようになるまで四年程申請を延ばす事が出来ると思うのですが『退職日の翌日から３０日経過後から１ヶ月以内に申請する』とゆう条件を入院をしていた事もあり今日知りました…
ハローワークは本日から年明けまで休み。
有効期限を計算すると１２月末日までに申請をしないと失効になるのですがハローワークが休み等に入ってしまった場合、その分申請の失効期間は延びないものでしょうか？
わかりにくい説明で申し訳ありませんが何かわかる方がいたら教えていただけませんか？

年末年始の休みが入るので、断言はできませんが、復活できる可能性がかなり高いと思います。
仕事始めの日にハローワークに行って相談してみられれば良いかと思います。

失業保険を受給するにあたって、求職活動実績として車の免許取得は含まれますか？また検定の合否通知など結果が来た日などは含まれますか？
失業保険のお金を受給するにあたって、4週間に2回の求職活動実績が必要ですよね？
その中で職案内、相談、求人応募、面接などの他に「国家試験や検定などを受験」とあるのですが、
普通自動車免許の試験も含まれるのでしょうか？

ちなみに再就職の希望職種はwebデザインとアパレルとしています。

あと、先日色彩検定を受けたのですが、
これは失業保険の受給資格日より前に受験しているので含まれませんよね。
しかし認定日の前の日に合格通知・発表があります。
これを認定日に申請しても活動実績には含まれないのでしょうか。

回答よろしくお願いいたしいます。

回答が前後しますが、受給資格取得日（申請日）より前に受験したものはたとえ何であれ求職活動には含まれません。
普通自動車の免許取得は求職活動には含まれません。それは再就職に資するものとはいえませんので。
希望職種がデザインとアパレルでは関係ないと思います。

失業保険をもらうための求職活動実績についてなんですが、「ハローワークの窓口での職業相談」はわかりやすいんですが、

「ハローワーク（職安）のパソコン（求人検索機）で仕事を検索する」
↑で検索する際に、「ハローワークカード」の提示は受付でする必要ってありますか？

検索し終わったら日付入りのハンコを押すだけじゃダメなんでしょうか？

各地域での違いはあるみたいなんですが、どうなんでしょう。

東京では検索終了後座席指定の札を返却時に受付で受給資格者証に印を押してます。
地域によっては原則通り検索自体を就職活動として認めてない所もあります。